Atualmente, para a solução dos desafios de Engenharia existem diversos métodos de simulações numéricas, cada um com suas particularidades e aplicações principais. O objetivo do presente artigo é apresentar as principais diferenças entre essas metodologias e, assim, facilitar a compreensão de suas aplicações. A utilização do método dos elementos finitos (Finite Element Method – FEM) evoluiu com a melhoria na análise estrutural. Como exemplo, podemos citar a utilização de modelos reticulados (principalmente para a indústria aeronáutica) e evolução na utilização dos computadores, principalmente em meados dos anos 50 segundo alguns autores. 

Por outro lado, o método dos volumes finitos (Finite Volume Method – FVM) tem a preferência de profissionais que precisam lidar com mecânica de fluidos, podendo também ser utilizado na resolução de problemas que envolvam transferência de calor ou massa. O método dos elementos discretos (Discrete Element Method – DEM), por sua vez, é amplamente aplicado em fluxos granulares.

Knowing the theory behind mathematical and computational modeling is essential to better understand operational problems and how to find solutions to common engineering problems. In this article, learn about the differences between the three methods mentioned: FEM, FVM and DEM.

 

Finite element method (FEM)

Evolution and Fundamentals of FEM

Inicialmente, o FEM foi utilizado em estudo de problemas da mecânica dos sólidos (para avaliação de tensões em asas de aviões). Posteriormente, se estendeu para aplicações envolvendo outros fenômenos físicos, tornando-o um método muito aplicado na indústria e na academia. Ele evoluiu passando de análises estáticas para dinâmicas; de problemas lineares a não lineares; de um único fenômeno a vários simultâneos que interagem entre si.  

The finite element method uses the discretization of the system into several elements to solve differential equations, replacing an infinite number of variables with a limited number of elements of known behaviour. The elements have finite dimensions, giving rise to the method's name. 

 

Knots, meshes and precision in analysis 

De acordo com o tipo e dimensão do problema, pode-se ter diferentes formas das divisões. Nestas, por sua vez, definimos os nós e malhas:

• • Nodes: the nodes are the finite elements connected to each other by points and can move according to the application of load, thus providing answers about the phenomenon studied. 

• • Mesh: the number of nodes will represent the number of unknowns that the problem will have and their sum is known as the mesh. 

Essa metodologia resolve as equações matemáticas utilizando aproximações devido às subdivisões da geometria, logo a escolha da malha adequada é muito importante para a qualidade dos resultados. Sua precisão está relacionada à quantidade e tamanho dos nós e elementos, à qualidade da malha e ao tipo de função utilizada. Para uma melhor precisão, menor deve ser a área do elemento e maior a quantidade de nós e elementos na malha. Por outro lado, um número muito grande de elementos acarreta no aumento do erro de arredondamento, podendo prejudicar a precisão do resultado e consumo de potência computacional.

In short, the geometry of what you want to analyze is divided into elements, which are small parts that represent the continuous domain of the problem. In this way, structural analysis can be carried out using displacements, deformations and stresses. It is also possible to simulate various scenarios and thus estimate the performance of a given product in terms of strength, stiffness and fatigue. 

In other words, the finite element method makes it possible to identify whether an analyzed product or component meets the required standards, to observe the points of stress concentration and to understand the structure's behavior under load. Therefore, FEM makes it possible to perfect the geometry of the object even before manufacturing.

 

 

Applications of the Finite Element Method (FEM) and Integration with CAD and CAE Software

Além disso, a tecnologia pode permitir a integração entre softwares usados para a criação da representação geométrica, denominados CAD (Computer Aided Design), e os softwares usados para a resolução do problema baseado no método de elementos finitos, denominados CAE (Computer Aided Engineering), deixando as análises mais rápidas e eficientes.

A fim de facilitar a compreensão, as etapas para a análise do método de elementos finitos estão listadas abaixo:

1. Build the CAD model of the system under analysis;

2. Determine the material's properties;

3. Build the model mesh in CAE software;

4. Determine the loads and restriction conditions;

5. Search for a solution;

6. Analyze the results.

An example of Kot's application of finite elements can be seen in Figure 1.

 

 

Figure 1: Practical application of mesh construction with finite element details - SOURCE: Kot Collection.

 

Finite Volume Method (FVM)

Fundamentals of FVM and the Navier-Stokes Equations

Quando se trata do estudo de fluidos, deve-se obedecer às leis fundamentais da física no que se diz respeito à conservação de massa, quantidade de movimento e energia. Assim, essas leis fundamentais nos levam às equações da continuidade, da energia e de Navier-Stokes. Essa trinca é comumente chamada de equações de Navier-Stokes, um conjunto de equações compostas por derivadas parciais que descrevem o comportamento dos fluidos. 

Nesse sentido, O método numérico mais aplicável para resolver problemas de escoamento é o método dos volumes finitos. Neste, o domínio é decomposto em volumes de controle (VCs) para permitir o estudo de fluidos. Pode-se dividir o FVM , utilizado em softwares CFD (Computational Fluid Dynamics), em 3 passos:

 

Simulation steps with FVM

1. FVM pre-processing

Inicialmente, deve ser construída a geometria a ser trabalhada. Em seguida, ocorre a subdivisão do domínio em partes menores, gerando uma malha de células, chamadas de volumes de controle (Figura 2). Além disso, são identificadas as propriedades do material/fluido e incluídas as condições de contorno.

 

 

Figure 2: Representation of a control volume - SOURCE: Versteeg and Malalasekera, 1995.

 

2. FVM simulation

Nesse sentido, as equações de Navier-Stokes são aplicadas a cada um dos volumes de controle. Modelos físicos de turbulência, combustão, radiação, etc. são analisados por meio das equações numéricas. Conservação de massa, quantidade de movimento, energia e demais equações e variáveis de transporte determinam as condições da simulação. Todo o cálculo é realizado com base na aproximação das variáveis envolvidas e, uma vez que o sistema de equações estiver pronto, ele será resolvido conforme demanda cada caso, de forma segregada ou acoplada.

 

3. FVM post-processing

Por fim, os resultados das análises são apresentados em gráficos e tabelas. Na utilização das ferramentas, também podem ser obtidas a distribuição de vetores na geometria e o perfil de distribuição de contorno. Assim, o que antes foi subdividido em volumes de controle, agora é analisado de forma global.

Embora o método dos volumes finitos possuir características semelhantes ao FEM, o FVM é o mais indicado e usual para simulações da fluidodinâmica. Por isso, as leis da termofluidodinâmica são melhor aplicadas em volumes de controle, principalmente em problemas relacionados a fluxos multifásicos, reativos, turbulentos ou de maior grau de complexidade.

 

Discrete element method (MED/DEM)

O método dos elementos discretos (MED) é utilizado quando se deseja calcular o escoamento, movimento ou dinâmica de um grande número de partículas discretas. Além disso, ele abrange tanto métodos computacionais que permitem a análise dos deslocamentos e rotações dos corpos discretos, quanto métodos que reconhecem automaticamente novos contatos à medida que os cálculos e iterações são executadas.

As análises iniciam a partir da descrição do movimento individual das partículas em cada incremento de tempo. O deslocamento das partículas é dado pela equação geral do movimento de Newton e pela equação de Euler para as rotações. Dessa forma, são estabelecidas as condições de contorno e/ou de operação e é possível chegar ao resultado desejado.

DEM is widely used in the numerical simulation of flows of granular materials with or without comminution. Its main applications include: 

• • Multiphysics models that include granular flows; 

• • Complex particle shapes, in two or three dimensions; 

• • Complex movements with particles of different sizes interacting with each other; 

• • Particle breaking models (such as ore crushers); 

• • Predicting the probability of particle breakage from the energy spectrum; 

• • Simulation of surface wear.

Figure 3 shows the representation of discrete particles in software using DEM.

 

 

Figure 3: Representation of discrete particles in a model - SOURCE: Kot Collection.

 

When to apply the FEM, FVM and DEM?

Em geral, o FEM é utilizado em análises estruturais, o FVM abrange simulações de escoamentos e comportamento de fluidos e o DEM é aplicado para o movimento de partículas discretas.

Por exemplo, pode-se considerar o estudo de um silo em que ocorre o escoamento de cascas de frutas. Nesse caso, o material armazenado e escoado apresenta grande variação de seus parâmetros físicos, os quais são afetados, entre outras coisas, por: variações no período de colheita, variedade de fruta, processos anteriores e tempo decorrido em transporte. É possível conhecer o comportamento de cada material no silo e sua interferência na estrutura metálica.

Assim, quando as cascas das frutas estão secas, seu escoamento deve ser determinado pelo método dos elementos discretos. Assim, é possível identificar regiões de entupimento, acúmulo de material, fluxo assimétrico, entre outras interferências comuns nesse tipo de operação. Esse exemplo pode ser visualizado na Figura 4.

 

 

 

Figure 4: Flow of dry shells in a silo - SOURCE: Kot Collection.

 

Por outro lado, na condição do material em que há alta umidade e a casca se apresenta como um material viscoso, seu escoamento é determinado pelo método dos volumes finitos. Nessa situação, é possível observar, por exemplo, como a viscosidade do fluido interfere no fluxo e quais são os impactos gerados. Veja um exemplo na Figura 5.

 

 

Figure 5: Height of the remaining viscous fluid level in a silo - SOURCE: Kot Collection.

 

Além disso, a partir das análises DEM e FVM/CFD, também é possível obter as cargas que o material, nas condições de operação, impõe na estrutura do silo. Assim, uma análise FEM deve ser feita tendo essas cargas como condições de contorno, conforme Figura 6.

 

 

 

Figure 6: Finite element analysis of a silo - SOURCE: Kot Collection.

 

 

Por fim, também é possível realizar análises que permitem visualizar, simultaneamente, os resultados de 2 ou mais métodos. É o caso de uma análise de avalanche realizada pela Kot, mostrada no vídeo. Nela, pode-se ver o escoamento calculado pelo método dos volumes finitos, enquanto a análise estrutural devido à avalanche é calculada pelo método dos elementos finitos.

 

Reference:

Malalasekera, W., and H. K. Versteeg. "An introduction to computational fluid dynamics." The finite volume method, Harlow: Prentice Hall (2007): 1995.

 

Numerical simulations are with Kot Engenharia

There are many ways of applying numerical methods. It is essential to understand the theory behind each one in order to carry out computational studies that can add real value by solving everyday problems that challenge industry. 

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FAQ

1. Quais são as aplicações primárias de cada uma das três metodologias numéricas?

• FEM (Finite Element Method): Voltado para a mecânica dos sólidos e engenharia estrutural (avaliação de tensões, deformações, rigidez, estabilidade, vibração e fadiga em estruturas metálicas ou de concreto).

• FVM (Finite Volume Method): Base de softwares de CFD (Computational Fluid Dynamics), focado no escoamento de fluidos (líquidos e gases), aerodinâmica, trocas térmicas, escoamentos multifásicos, reativos e turbulentos.

• DEM (Discrete Element Method): Aplicado à dinâmica de meios granulares, prevendo o comportamento, deslocamento, rotação, colisão e fratura de grandes quantidades de partículas sólidas individuais (como minérios, grãos e britas).

 

2. Como funciona o Método dos Elementos Finitos (FEM) e como a malha afeta a precisão?

O FEM divide uma geometria contínua complexa em subdomínios menores chamados elementos, interligados por pontos denominados nós. O conjunto total de nós e elementos forma a malha.

• Aumento de precisão: Malhas mais refinadas (elementos menores e maior quantidade de nós) oferecem respostas mais precisas sobre as concentrações de tensão;

• Custo computacional: Elementos em excesso aumentam o tempo de processamento e podem introduzir erros de arredondamento numérico. O dimensionamento ideal da malha busca o equilíbrio entre convergência de resultados e eficiência de cálculo.

 

3. Quais são as etapas sequenciais para a realização de um estudo em FEM (integração CAD/CAE)?

A condução de uma análise estrutural por elementos finitos segue 6 passos fundamentais:

1. Modelagem CAD: Construção da geometria tridimensional do sistema em software CAD;

2. Propriedades do Material: Atribuição do Módulo de Elasticidade, coeficiente de Poisson, limite de escoamento e densidade;

3. Geração da Malha (CAE): Discretização da geometria em elementos finitos;

4. Condições de Contorno: Aplicação dos carregamentos (forças, momentos, pressões) e restrições de apoio;

5. Solução Numérica: Processamento computacional do sistema de equações algébricas;

6. Pós-Processamento: Análise visual e quantitativa das tensões, deslocamentos e índices de utilização normativos.

 

4. Por que o Método dos Volumes Finitos (FVM) é preferido para simulações de fluidos (CFD) em vez do FEM?

Embora o FEM possa resolver equações diferenciais genéricas, as leis fundamentais da termofluidodinâmica (conservação de massa, quantidade de movimento e energia) são formuladas nativamente em termos de balanços em volumes de controle. O FVM garante a conservação estrita das grandezas físicas em cada célula da malha, mesmo em malhas não estruturadas e simulações complexas de escoamento turbulento ou multifásico regidas pelas Equações de Navier-Stokes.

 

5. Quais equações físicas governam o Método dos Elementos Discretos (DEM)?

Diferente do FEM e FVM, que tratam o domínio como um meio contínuo, o DEM calcula o movimento individual de cada partícula ao longo do tempo. Suas equações fundamentais são:

• Segunda Lei de Newton: Para descrever a aceleração e o deslocamento translacional de cada partícula;

• Equação de Euler: Para calcular os momentos, rotações e acelerações angulares resultantes do contato entre partículas ou com as paredes do equipamento.

 

6. Qual é a diferença fundamental entre as três metodologias?

Característica	FEM (Elementos Finitos)	FVM (Volumes Finitos)	DEM (Elementos Discretos)
Foco Físico	Sólidos e Estruturas	Fluidos e Transferência de Calor	Partículas e Meios Granulares
Domínio	Contínuo (Discretizado em Elementos)	Contínuo (Discretizado em Volumes de Controle)	Discreto (Corpos e Partículas Individuais)
Leis Governantes	Elasticidade, Plasticidade, Equações de Equilíbrio	Equações de Navier-Stokes e Leis de Conservação	Leis do Movimento de Newton e Euler
Principais Saídas	Tensões ($\sigma$), Deformações ($\epsilon$), Deslocamentos	Campos de Velocidade, Pressão, Turbulência, Temperatura	Trajetórias, Forças de Impacto, Taxas de Desgaste

 

7. Como os três métodos (FEM, FVM e DEM) podem ser integrados para resolver um único problema industrial?

Problemas multifísicos complexos frequentemente exigem o acoplamento das metodologias. Um exemplo clássico é o estudo de um silo de armazenamento e descarga:

1. Se o material estiver seco (comportamento granular): Aplica-se o DEM para mapear o escoamento, identificar formações de arcos, bloqueios ou fluxo assimétrico de partículas;

2. Se o material possuir alta umidade (comportamento viscoso/fluido): Utiliza-se o FVM/CFD para simular o nível, a viscosidade e a dinâmica do fluxo;

3. Análise Estrutural do Silo: As pressões e forças resultantes geradas pelo material (calculadas previamente via DEM ou FVM) são exportadas e aplicadas como condições de contorno em um modelo FEM para verificar o estado de tensão e a segurança da estrutura metálica do silo.