Métodos Numéricos

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De forma geral,  três metodologias se destacam na busca de soluções para problemas na área de engenharia, sendo eles: métodos analíticos, métodos experimentais e métodos numéricos. Para compreender o método numérico é preciso conhecer as outras metodologias usadas.Neste artigo vamos apresentar o conceito dos três métodos e explorar o uso de métodos numéricos na resolução de problemas da engenharia. 

Método Analítico 

O Método Analítico é utilizado para problemas de menor complexidade. É uma metodologia simples que fornece uma resposta direta ao solucionar, geralmente de forma manual, equações baseadas em fórmulas matemáticas, em que se define variáveis de entrada para encontrar o resultado das variáveis de saída. 

Cálculos analíticos não podem ser aplicados em todos os desafios encontrados na engenharia, pois a resolução das equações que descrevem o fenômeno estudado pode ser complexa demais para ser calculada, por exemplo, a resolução de equações diferenciais parciais de segunda ordem e não lineares. Para tornar as equações passíveis de solução, adota-se a idealização das características físicas que descrevem o fenômeno, tornando-as muito mais simples do que se é observado na prática. Com isso, o produto obtido com o resultado das equações pelo método analítico pode ter desvios consideráveis em comparação ao produto real, gerando problemas de superdimensionamento, o que aumenta o custo de produção ou de implantação de um projeto.

Entretanto, as soluções analíticas de problemas simples podem ser usadas como base para o entendimento do comportamento do sistema de equações, para o desenvolvimento de métodos numéricos e para a verificação de códigos computacionais.

Ilustrando, a colisão entre dois corpos pode ser classificada como elástica quando ocorre conservação da energia e do momento linear do sistema, descrita pela equação apresentada na Figura 1. No entanto, a maior parte das colisões encontradas na natureza não podem ser classificadas como elásticas, sendo a consideração dessa premissa uma simplificação para facilitar a aplicação em casos específicos.

Figura 1: Lei da Conservação de Movimento em um choque elástico – utilização do método analítico (Imagem elaborada pelo autor).

Métodos Experimentais

Métodos Experimentais utilizam protótipos físicos, que podem ser em escala real ou reduzida, para o estudo do fenômeno. São realizados testes que simulam a condição de operação daquele produto. Exemplos clássicos da aplicação dessa metodologia são o teste de colisão de um automóvel ou a análise aerodinâmica de um carro de fórmula 1 em um túnel de vento, conforme apresentado na Figura 2 [1].

Figura 2: Simulação de carro de fórmula 1 para a temporada 2021 utilizando o método experimental “túnel de vento” – BARRETTO (2019).

Métodos experimentais apresentam alta qualidade nos resultados obtidos e permitem um entendimento detalhado do evento estudado, porém é necessário um alto investimento. Tal investimento não é caracterizado somente em relação ao custo de construção do protótipo, mas também em relação ao investimento necessário para se obter a infraestrutura essencial para simular com precisão as características físicas de operação. Outra dificuldade encontrada ao se utilizar o método experimental é no prazo necessário para elaboração do ensaio, já que, pode ser preciso fazer várias simulações ou simulações de longa duração e construir diferentes protótipos até obter um design ideal, principalmente em ensaios destrutivos. Por último, algumas condições reais não são possíveis de serem reproduzidas, por exemplo, a simulação de reservatórios de petróleo [2]. 

Método numérico

O método numérico encontra soluções numéricas aproximadas dos mais variados problemas complexos encontrados no mundo real, por meio de aplicações de algoritmos, que possibilitam elaborar e calcular operações matemáticas usando sequências de operações aritméticas mais simples. “A análise numérica idealiza e concebe métodos para aprovar de forma eficiente as soluções de problemas expressados matematicamente” [3]. 

Algoritmo é um conjunto finito de operações ordenadas que possibilita a resolução de um determinado problema. Consiste em uma série de instruções determinadas que, por meio de uma continuação de etapas, fazem ser possível encontrar uma aproximação do resultado.

A análise numérica tem como objetivo encontrar uma solução aproximada do valor real por meio de sucessões, utilizando o mínimo de operações elementares possíveis. Apesar de ter seu início antes dos computadores, atualmente é associada à tecnologia da informação. A medida que os computadores ficaram mais acessíveis financeiramente e com maior capacidade de processamento, foi popularizado o uso de métodos e técnicas computacionais para solucionar problemas reais, em que as resoluções manuais podem ser impraticáveis, imprecisas,  exigirem um alto investimento financeiro ou um alto tempo de execução. 

O método numérico é uma metodologia que, apesar de ser necessário um investimento superior ao método analítico, devido à necessidade de uma infraestrutura de hardware e de licenças de softwares, ainda requer um investimento inferior ao método experimental. É uma abordagem que, mesmo utilizando hipóteses que simplificam o fenômeno em relação ao encontrado na realidade, ainda torna possível a obtenção de uma representação similar à encontrada no estudo de um protótipo físico em um menor tempo. 

Uma aplicação prática dos métodos numéricos é a simulação CFD que a partir das leis da termofluidodinâmica busca resolver o problema delimitado com a utilização de recursos computacionais. No exemplo apresentado na Figura 3, com a aplicação da técnica CFD pode-se determinar a distribuição de pressão em toda a superfície externa de um veículo, determinando-se coeficientes aerodinâmicos de arrasto e downforce, com um custo consideravelmente inferior à técnica de ensaio em túnel de vento.

Figura 3: Simulação CFD para definição do melhor perfil aerodinâmico (Acervo da KOT Engenharia)

Solução numérica

Para resolver um problema usando soluções numéricas deve-se seguir algumas etapas, retratadas na Figura 4 [3].

Figura 4 – Etapas envolvidas na solução numérica de um problema físico –  FRANCO (2011)

O modelo matemático deve ser construído a partir da observação do fenômeno, utilizando as leis da física e da matemática.  Ele precisa ser construído de tal maneira que represente corretamente  as características físicas reais do problema.

Com o modelo matemático obtém-se o modelo numérico, utilizando o método de aproximações. Essa metodologia é baseada na discretização do domínio e na resolução da equação diferencial em pontos determinados.

As etapas necessárias na solução numérica podem ser resumidas em: 

Modelo Físico > Modelo Matemático > Modelo Numérico > Solução Numérica > Resultados Numéricos.

Faz-se necessário o  cuidado em todas as etapas de resolução do problema analisado para garantir que a solução numérica retrate o fenômeno físico reproduzido. Caso contrário, pode-se obter soluções sem significado. “A ferramenta numérica é a adequada e confiável quando se está de posse de um método numérico que resolva corretamente as equações diferenciais, e de um modelo matemático, que represente com fidelidade o fenômeno físico.” [3]. 

A solução numérica pode apresentar dois tipos de erros quando os resultados encontrados são comparados com o problema físico na realidade. Os erros numéricos são consequência da solução de forma incorreta das equações diferenciais. Nesse caso, é necessário fazer uma comparação do resultado com outras soluções analíticas ou numéricas. Há também os erros decorrentes do uso de equações que não descrevem corretamente o fenômeno estudado.

Conclusão

O método numérico possui algumas vantagens em relação às outras metodologias, dentre elas: 

  • Baixo custo em relação ao método experimental;
  • Menor tempo na resolução do problema;
  • Facilidade de Simular Condições Realísticas.

Porém, a solução numérica não deve ser vista como substituta dos outros métodos. É de responsabilidade do engenheiro analisar e determinar qual é a melhor metodologia para a resolução do problema considerando as vantagens e limitações de cada método.

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Referências: 

[1] BARRETTO, Lawrence. First Look: Formula 1’s 2021 car in the wind tunnel. Formula 1, 21 de agosto de 2019. Disponível em: <https://www.formula1.com/en/latest/article.first-look-formula-1s-2021-car-in-the-wind-tunnel.6ye3S7Pb8NRX1K7PjTBxtS.html> Acesso em: 11 de abril de 2020. 

[2] FRANCO, Admilson T. Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia: Introdução aos métodos de diferença finitas e de volumes finitos. 2011. 9 f. Curso de Engenharia Mecânica, Departamento Acadêmico de Mecânica, Universidade Federal do Pará, Curitiba, 2011. Cap. 1.

[3] ARAÚJO, Eduardo. Métodos Numéricos para Simulação na Engenharia. Blog ESS, 30 de novembro de 2017. Disponível em <https://www.esss.co/blog/simulacao-numerica-metodo-analitico-experimental-concorrentes-ou-complementares-na-engenharia/.>  Acesso em: 20 de setembro de 2020. 

Comment (1)

  • mauro silva Reply

    Muito boa explicação

    16 de abril de 2021 at 17:00

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