En general, en la búsqueda de soluciones a los problemas en el campo de la ingeniería destacan tres metodologías: los métodos analíticos, los métodos experimentales y los métodos numéricos. Para entender el método numérico, es necesario conocer las otras metodologías utilizadas. En este artículo presentaremos el concepto de los tres métodos y exploraremos el uso de los métodos numéricos en la resolución de problemas de ingeniería. 

Método analítico 

El método analítico se utiliza para problemas menos complejos. Es una metodología sencilla que proporciona una respuesta directa resolviendo, normalmente de forma manual, ecuaciones basadas en fórmulas matemáticas, en las que se definen variables de entrada para hallar el resultado de las variables de salida. 

Los cálculos analíticos no pueden aplicarse a todos los retos que se plantean en ingeniería, ya que la resolución de las ecuaciones que describen el fenómeno estudiado puede resultar demasiado compleja de calcular, por ejemplo, la resolución de ecuaciones diferenciales parciales no lineales de segundo orden. Para que las ecuaciones sean resolubles, se idealizan las características físicas que describen el fenómeno, haciéndolas mucho más simples de lo que se observa en la práctica. En consecuencia, el producto obtenido a partir del resultado de las ecuaciones mediante el método analítico puede desviarse considerablemente del producto real, generando problemas de sobredimensionamiento, lo que aumenta el coste de producción o de ejecución de un proyecto.

Sin embargo, las soluciones analíticas a problemas sencillos pueden servir de base para comprender el comportamiento del sistema de ecuaciones, desarrollar métodos numéricos y verificar los códigos informáticos.

A título ilustrativo, una colisión entre dos cuerpos puede clasificarse como elástica cuando existe conservación de la energía y el momento lineal del sistema, descrita por la ecuación que se muestra en la Figura 1. Sin embargo, la mayoría de las colisiones que se encuentran en la naturaleza no pueden clasificarse como elásticas, y la consideración de esta premisa es una simplificación para facilitar su aplicación en casos concretos.

Figura 1: Ley de conservación del movimiento en un choque elástico
- utilizando el método analítico - FUENTE: Colección Kot.

Métodos experimentales

Los métodos experimentales utilizan prototipos físicos, que pueden ser a escala real o reducida, para estudiar el fenómeno. Se realizan pruebas que simulan las condiciones de funcionamiento de ese producto. Ejemplos clásicos de la aplicación de esta metodología son las pruebas de choque de un coche o el análisis aerodinámico de un Fórmula 1 en un túnel de viento, como se muestra en la Figura 2 [1].

Figura 2: Simulación del coche de Fórmula 1 para la temporada 2021 utilizando el método experimental del "túnel de viento" - FUENTE: BARRETTO (2019).

Los métodos experimentales proporcionan resultados de gran calidad y permiten comprender en detalle el acontecimiento estudiado, pero requieren un elevado nivel de inversión. Esta inversión no sólo se caracteriza por el coste de construcción del prototipo, sino también por la inversión necesaria para obtener la infraestructura indispensable para simular con precisión las características físicas de funcionamiento. Otra dificultad encontrada al utilizar el método experimental es el tiempo necesario para llevar a cabo la prueba, ya que puede ser necesario realizar varias simulaciones o simulaciones a largo plazo y construir diferentes prototipos hasta obtener un diseño ideal, especialmente en las pruebas destructivas. Por último, algunas condiciones reales no pueden reproducirse, por ejemplo, la simulación de yacimientos de petróleo [2]. 

Método numérico

O método numérico encontra soluções numéricas aproximadas dos mais variados problemas complexos encontrados no mundo real, por meio de aplicações de algoritmos, que possibilitam elaborar e calcular operações matemáticas usando sequências de operações aritméticas mais simples. “A análise numérica idealiza e concebe métodos para aprovar de forma eficiente as soluções de problemas expressados matematicamente” [3]. 

Un algoritmo es un conjunto finito de operaciones ordenadas que permiten resolver un problema dado. Consiste en una serie de instrucciones específicas que, mediante una continuación de pasos, permiten encontrar una aproximación del resultado.

A análise numérica tem como objetivo encontrar uma solução aproximada do valor real por meio de sucessões, utilizando o mínimo de operações elementares possíveis. Apesar de ter seu início antes dos computadores, atualmente é associada à tecnologia da informação. A medida que os computadores ficaram mais acessíveis financeiramente e com maior capacidade de processamento, foi popularizado o uso de métodos e técnicas computacionais para solucionar problemas reais, em que as resoluções manuais podem ser impraticáveis, imprecisas,  exigirem um alto investimento financeiro ou um alto tempo de execução. 

El método numérico es una metodología que, a pesar de requerir una inversión mayor que el método analítico debido a la necesidad de infraestructura de hardware y licencias de software, sigue requiriendo una inversión menor que el método experimental. Es un enfoque que, aun utilizando hipótesis que simplifican el fenómeno en relación con el encontrado en la realidad, permite obtener una representación similar a la encontrada en el estudio de un prototipo físico en un tiempo menor. 

Uma aplicação prática dos métodos numéricos é a simulação CFD que a partir das leis da termofluidodinâmica busca resolver o problema delimitado com a utilização de recursos computacionais. No exemplo apresentado na Figura 3, com a aplicação da técnica CFD pode-se determinar a distribuição de pressão em toda a superfície externa de um veículo, determinando-se coeficientes aerodinâmicos de arrasto e downforce, com um custo consideravelmente inferior à técnica de ensaio em túnel de vento.

Figura 3: Simulación CFD para definir el mejor perfil aerodinámico - FUENTE: Kot Collection.

Solución numérica

Para resolver un problema mediante soluciones numéricas, hay que seguir algunos pasos, como se muestra en la Figura 4 [3].

Figura 4: Etapas de la solución numérica de un problema físico - FUENTE: FRANCO (2011).

El modelo matemático debe construirse a partir de la observación del fenómeno, utilizando las leyes de la física y las matemáticas. Debe construirse de forma que represente correctamente las características físicas reales del problema.

Con el modelo matemático, el modelo numérico se obtiene utilizando el método de aproximaciones. Esta metodología se basa en discretizar el dominio y resolver la ecuación diferencial en puntos concretos.

Los pasos necesarios para la solución numérica pueden resumirse como sigue: 

Modelo físico > Modelo matemático > Modelo numérico > Solución numérica > Resultados numéricos.

En todas las etapas de la resolución del problema analizado hay que procurar que la solución numérica refleje el fenómeno físico reproducido. De lo contrario, pueden obtenerse soluciones sin sentido. "La herramienta numérica es adecuada y fiable cuando se dispone de un método numérico que resuelve correctamente las ecuaciones diferenciales y de un modelo matemático que representa fielmente el fenómeno físico". [3]. 

La solución numérica puede presentar dos tipos de errores cuando los resultados encontrados se comparan con el problema físico real. Los errores numéricos son el resultado de resolver incorrectamente las ecuaciones diferenciales. En este caso, es necesario comparar el resultado con otras soluciones analíticas o numéricas. También existen errores derivados del uso de ecuaciones que no describen correctamente el fenómeno estudiado.

Conclusión

El método numérico tiene algunas ventajas sobre otras metodologías, entre ellas: 

• Bajo coste en comparación con el método experimental;
• Menor tiempo de resolución de problemas;
• Facilidad para simular condiciones realistas.

Sin embargo, las soluciones numéricas no deben considerarse un sustituto de otros métodos. Es responsabilidad del ingeniero analizar y determinar el mejor método para resolver el problema, teniendo en cuenta las ventajas y limitaciones de cada método.

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Referencias: 

[1] BARRETTO, Lawrence. First Look: Formula 1’s 2021 car in the wind tunnel. Formula 1, 21 de agosto de 2019. Disponível em: <https://www.formula1.com/en/latest/article.first-look-formula-1s-2021-car-in-the-wind-tunnel.6ye3S7Pb8NRX1K7PjTBxtS.html> Acesso em: 11 de abril de 2020. 

[2] FRANCO, Admilson T. Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia: Introdução aos métodos de diferença finitas e de volumes finitos. 2011. 9 f. Curso de Ingeniería Mecánica, Departamento Académico de Mecánica, Universidad Federal de Pará, Curitiba, 2011. Cap. 1.

[3] ARAÚJO, Eduardo. Métodos Numéricos para Simulação na Engenharia. Blog ESS, 30 de novembro de 2017. Disponível em <https://www.esss.co/blog/simulacao-numerica-metodo-analitico-experimental-concorrentes-ou-complementares-na-engenharia/.>  Acesso em: 20 de setembro de 2020.